Wind beneath my wings

你是我翼下的風
Wind beneath my wings

我獨享所有的榮耀，
而你卻背負了所有的疲憊；
美麗的臉龐，卻甘於沒沒無聞；
甜美的笑容，掩飾了痛苦；

So I was the one with all the glory，
while you were the one with all the strain；
A beautiful face without a name，for so long，
A beautiful smile to hide the pain；

惡人蒙福, 義人遭難, 究竟是怎麼回事.

問題: 惡人蒙福, 義人遭難, 究竟是怎麼回事. V.1 追憶往事
Psa 73:1 （亞薩的詩。）神實在恩待以色列那些清心的人！
Psa 73:2 至於我，我的腳幾乎失閃；我的腳險些滑跌。
Psa 73:3 我見惡人和狂傲人享平安就心懷不平。
V.4-9 生活中的不公平
Psa 73:4 他們死的時候沒有疼痛；他們的力氣卻也壯實。
Psa 73:5 他們不像別人受苦，也不像別人遭災。
Psa 73:6 所以，驕傲如鏈子戴在他們的項上；強暴像衣裳遮住他們的身體。
Psa 73:7 他們的眼睛因體胖而凸出；他們所得的，過於心裡所想的。
Psa 73:8 他們譏笑人，憑惡意說欺壓人的話；他們說話自高。
Psa 73:9 他們的口褻瀆上天；他們的舌毀謗全地。
Psa 73:10 所以神的民歸到這裡，喝盡了滿杯的苦水。
Psa 73:11 他們說：神怎能曉得？至高者豈有知識呢？
結論: 不公平的失望
Psa 73:12 看哪，這就是惡人；他們既是常享安逸，財寶便加增。
Psa 73:13 我實在徒然潔淨了我的心，徒然洗手表明無辜。
Psa 73:14 因為，我終日遭災難；每早晨受懲治。
疑問與恐懼
Psa 73:15 我若說，我要這樣講，這就是以奸詐待你的眾子。
默默忍受
Psa 73:16 我思索怎能明白這事，眼看實係為難，
答案與不再反抗
Psa 73:17 等我進了神的聖所，思想他們的結局。
Psa 73:18 你實在把他們安在滑地，使他們掉在沉淪之中。
Psa 73:19 他們轉眼之間成了何等的荒涼！他們被驚恐滅盡了。
Psa 73:20 人睡醒了，怎樣看夢；主啊，你醒了也必照樣輕看他們的影像。
智慧的開始
Psa 73:21 因而，我心裡發酸，肺腑被刺。
Psa 73:22 我這樣愚昧無知，在你面前如畜類一般。
全給全足的神
Psa 73:23 然而，我常與你同在；你攙著我的右手。
Psa 73:24 你要以你的訓言引導我，以後必接我到榮耀裡。
神比任何事重要
Psa 73:25 除你以外，在天上我有誰呢？除你以外，在地上我也沒有所愛慕的。
神是所需的力量
Psa 73:26 我的肉體和我的心腸衰殘；但神是我心裡的力量，又是我的福分，直到永遠。
神施公義像施憐憫
Psa 73:27 遠離你的，必要死亡；凡離棄你行邪淫的，你都滅絕了。
Psa 73:28 但我親近神是與我有益；我以主耶和華為我的避難所，好叫我述說你一切的作
為。

神的祝福

作為牧者到書院
不被承認為牧者
竟說我不像牧者
感謝主負負得正

王良芬小姐《健康「十」物 有助預防疾病》

中國時報王良芬小姐《健康「十」物 有助預防疾病》
盼望我們因著這些好食物而身體健康，榮耀神。

「吃，喝，還有健康！」是許多人的願望。據(時代雜誌)報導說，番茄、菠菜、堅果、花椰菜、燕麥、鮭魚、大蒜、藍莓、綠茶與紅酒等十項食品，可以幫助人們預防疾病。

1.番茄內含的番茄紅素，能夠大幅減少罹患攝護腺癌等癌症的機率，在烹煮當中，番茄紅素就會自然釋放，是最佳的維他命Ｃ來源。

2.菠菜，因含豐富的鐵及維他命Ｂ，能夠有效防治罹患血管方面疾病，能預防盲眼症。

3. 堅果，可以降低血液中的三酸甘油脂，是預防心臟病的最佳配方，不論是花生或杏仁果等，都是好的選擇，但食用務必適量，千萬不要過度食用。

4.花椰菜，因含大量胡蘿蔔素及維他命Ｃ，長期食用花椰菜可以減少罹患乳癌、直腸癌及胃癌的機率，最好是簡易烹調後使勁的咀嚼，白菜、豆芽也是不錯的選擇。

5. 燕麥，每天食用可以減低膽固醇，並可以降低血壓，它所含的豐富纖維會使人很快就有飽腹的感覺，可以令人減少攝取油膩食品，有效的控制體重。

6.鮭魚，經常使用可以防止血管阻塞，研究發現，鮭魚含Omega-3s成份可以保護腦部老化，預防老人痴呆症。

7. 大蒜，雖然吃了氣味不好，但大蒜卻有極佳的防治心臟疾病的功能，可以降低膽固醇，並有清血與殺菌的效用！

8. 藍莓，它有極高的抗氧化劑，除了可以預防心臟病和癌症，並能增進腦力。

9. 綠茶可以防癌，中國大陸研究發現，每天食用綠茶的民眾罹患胃癌、食道癌及肝癌的機率較低。

10. 紅酒。釀酒用的葡萄皮有豐富的抗氧化劑，能減少血管硬化，不過飲用不能過量，否則會罹患乳癌、引發中風，每週不能超過數杯。

泡麵、泡麵，怎麼泡出健康又方便？

我們都知道泡麵吃多了不好，可是它的方便、多樣

，很快就填滿肚子，最主要是泡出來那股香辣...嘖，口水都流出來了。那怎樣吃的健康又安心：
1. 麵本身，用泡用煮倒是無所謂，但調理包一定要用煮的，而且是水煮沸後放下去至少煮沸三分鐘。（因為調理包中的抗氧化劑，在高溫下會自動分解）
2. 調味包、調理包盡量少放，減少鹽分的攝取。
3. 盡可能打個蛋，加些青菜，或餐後水果，好解決蛋白質與維生素攝取不足。
4. 少買碗麵，即使出門在外，最好自備鋼杯。
5. 可選擇粿籽條、或米粉、冬粉之類未經油炸的泡麵。
最後，再溫習一下，想得都會血脈賁張的泡麵成分：
經過研究證實，泡麵中的調理包須經過高溫滅菌、真空包裝，所以裡面維他命營養素，早已蕩然無存。你別想吃到肉類本來含有的維他命B、鐵質，或蔬菜裡的維他命C、維他命A，吃進去的只是一堆熱量，所以如果花大錢買個看起來較高級的大碗麵，實際是多買了200~ 300卡的熱量而已。
為了方便保存，泡麵都經過油炸，而且油裡頭添加了BHT（防止食物酸化的安定劑）。它本身會致癌的，肝腫大、染色體異常以及降低生殖能力。而調味包不管肉類調理包、油包、鹽包...都含有抗氧化劑，吃多了對肝臟不好。不僅如此，它鹽含量過高，是會加重心臟跟腎的負擔的。
更可怕的！碗裝的泡麵，碗的材質是聚苯乙烯，為防止加熱後會變形，所以添加了BHT安定劑，但是沖泡中遇到高熱，這些物質就會溶解出來，你要吃下去嗎？
泡麵雖美，命只有一條。

泡麵、泡麵，怎麼泡出健康又方便？

我們都知道泡麵吃多了不好，可是它的方便、多樣

，很快就填滿肚子，最主要是泡出來那股香辣...嘖，口水都流出來了。那怎樣吃的健康又安心：
1. 麵本身，用泡用煮倒是無所謂，但調理包一定要用煮的，而且是水煮沸後放下去至少煮沸三分鐘。（因為調理包中的抗氧化劑，在高溫下會自動分解）
2. 調味包、調理包盡量少放，減少鹽分的攝取。
3. 盡可能打個蛋，加些青菜，或餐後水果，好解決蛋白質與維生素攝取不足。
4. 少買碗麵，即使出門在外，最好自備鋼杯。
5. 可選擇粿籽條、或米粉、冬粉之類未經油炸的泡麵。
最後，再溫習一下，想得都會血脈賁張的泡麵成分：
經過研究證實，泡麵中的調理包須經過高溫滅菌、真空包裝，所以裡面維他命營養素，早已蕩然無存。你別想吃到肉類本來含有的維他命B、鐵質，或蔬菜裡的維他命C、維他命A，吃進去的只是一堆熱量，所以如果花大錢買個看起來較高級的大碗麵，實際是多買了200~ 300卡的熱量而已。
為了方便保存，泡麵都經過油炸，而且油裡頭添加了BHT（防止食物酸化的安定劑）。它本身會致癌的，肝腫大、染色體異常以及降低生殖能力。而調味包不管肉類調理包、油包、鹽包...都含有抗氧化劑，吃多了對肝臟不好。不僅如此，它鹽含量過高，是會加重心臟跟腎的負擔的。
更可怕的！碗裝的泡麵，碗的材質是聚苯乙烯，為防止加熱後會變形，所以添加了BHT安定劑，但是沖泡中遇到高熱，這些物質就會溶解出來，你要吃下去嗎？

2008北京外籍教授的清貧生活

2008外籍教授的清貧生活

　　羅大衛是清華大學經濟管理學院的副教授，在中國著名高等學府教書的他在中國的生活，似乎可以代表 一部分外籍教師的生活。由于地理位置和學校實力、管理的差異，外籍教師的收入水平參差不齊，但總的來說，都不是很高。羅大衛向《環球》雜志記者坦言，自己 要比在新西蘭的同事收入低，而且由于住房緊張，清華大學分給他的住房只有60多平米，而除了自己的妻子外，六個孩子也在身邊，“太擠了”。

　 　由于北京房價增長較快，住在學校外的成本也很高，羅大衛一家听了朋友的建議，選擇住在北京天通苑以北3公里處的一個小區里，每天上下班都要和中國其他上 班族一樣擠地鐵。孩子們上學的花費也很貴，如果要上國際學校，6個孩子每年要花費12萬美元，于是，羅大衛送孩子們上的是便宜一點的當地學校，很多課程他 還自己教。

　　雖然生活似乎並不寬裕，但羅大衛卻也能樂在其中，他說自己不止一次地回答過關于為什麼會在條件不是很好的情況下來到中國的問題——“生活並不僅僅是掙工資。”

Easter {復活節}

The early church celebrated Easter on different days of the week,

until 325 A.D. when the Easter Rule that "Easter shall be celebrated

on the first Sunday after the first full moon on or after the vernal equinox"

was adopted by the Council of Nicaea.
This means that the actual date for Easter can be
as early as the 22nd March or as late as 25th April.

總務長夏雷博士見證

Rhsia.doc 2007/8/28
本校新任總務長夏雷博士見證
在上帝信實的帶領下 壓傷的蘆葦也不折斷
「從信主開始，我一直在經驗神的信實與大能，我相信在神的帶領下，壓傷的蘆葦也不折斷。」1980年在美國攻讀博士學位的夏雷，從信主後，聖靈的感動就一直在心理迴盪。「聖靈一直告訴我，要我體驗神的信實。」1988年他接受呼召，擔任猶他大學中國學生團契的輔導，那時神告訴他：「要先求祂的國，祂的義，神就會照顧我一切所需」，果然半年後，他獲得猶他州公路局橋樑設計工程師的職位，並於1990年進入神學院進修。
1994年獲得土木工程博士學位後，原本認為自己的事業就此可以穩定發展，但十年前一場大車禍，讓從大難中死裡逃生的他，深切體會到自己的新生命是神所賜，自此他在心底計劃著，人生的下半場，將完全奉獻給上帝使用。
「因為是在高速公路中被一位年輕人駕駛的車正面對撞，肇事者當場死亡，而我也昏迷了二週。」夏博士指著被撞得面目全非的汽車照片說。「因為經歷這場災難，我深切體會到車禍之後的生命是上帝給的，所以我一直計劃人生第二個生命我要奉獻給神。」夏總務長說，他二十六歲認識主，另外二十六年被神裝備，往後的二十六年要完全奉獻給上帝，作服事的工作。
車禍復建一年後，他開始領導印尼華人的團契，幫助在印尼受到種族迫害的華人，重新在美國生活並在信仰中得力。由於輔導難民的工作滿有聖靈的印證，2000年按立為牧師，後因猶他州將舉辦冬季奧運會，為協助當地工作的菲律賓人在信仰中重生，他負責帶領菲律賓勞工團契的會友，共計六年的時間。夏總務長表示，當初與他一樣遭到車禍的兒子才十五歲，而家中還有一位三歲的孩子與四十三歲的妻子，如果他因此離世，整個家庭可能毀於一旦。但因為上帝的憐憫，他卻在一年的復建後，完全恢復正常，並繼續工作，如今長子已經二十五歲，幼子也十三歲。
所以五十二歲時，他義無反顧，在妻子與家人的支持下，辭退工作近二十年的公職生涯，憑著信心等待上帝的帶領，加入「美中密蘇里州工人訓練中心」的服事工場，
夏總務長表示，當他在服事的時候，有三個橋樑工程公司邀約他，但因體悟到「自己已經是為神的旨意而活，人生的道路不是自己所計劃，而是照著神的帶領」，所以決定不再設計橋樑，專心傳講耶穌。
「能到基督書院擔任總務長，不是我意料之中，而是萬事互相效力，因著神一步步的帶領。」夏總務長表示：「跟隨上帝的帶領，很多事情都接的剛剛好，其中充滿上帝奇妙的帶領與作為。」他希望能以個人生命的經歷，全心奉獻，帶領更多的人認識上帝。

六分之六的人生

有一天，一名大學教授到一個落後鄉村游山玩水，

他僱了一艘小船遊江，當船開動後教授問船夫：『你會數學嗎？』
船夫回答：『先生，我不會。』
教授又問船夫：『你會物理嗎？』
船夫回答：『物理？我不會。』
教授又問船夫：『那你會用電腦嗎？』
船夫回答：『對不起，我不會。』
教授聽後搖搖頭說道﹕
你不會數學，人生目的已失去六分之二；
不會物理，人生目的又失去六分之一；
不會用電腦，人生目的又失去六分之一；
你的人生目的總共失去六分之四…
說到這兒，天空忽然飄來大片黑雲，隨後吹來強風，眼看暴風雨就要來到。
船夫問教授：『先生，你會游泳嗎？』
教授愣一愣答道：『不會。沒學過。』
船夫搖搖頭說道：『那你人生目的快要失去六分之六...』
【啟示】
人不該用自己的標準去衡量他人，
故事中的教授是數理方面的專家，便認為數學、物理、電腦是極為重要的，

如果不能瞭解這些學問，人生似乎沒什麼意義了(這也是一種『專家心態』)。
對船夫來說，會不會這些有什麼關係，最重要的應該是「活」下去的能力，
在緊要關頭，教授所專長的一切都沒用了，
只有會游泳才能保命，命都沒了，
還談什麼人生目的？
不要小看其他人，更別一味用「我」的標準做為對錯、好壞的標準。
這位員工雖然不夠機靈、缺乏創意，
但他做事不計較、不用心機；
那位員工可能表達能力不好，可是他執著認真、實事求是。
我的「優點」他沒有，可別忘了，他的優點我也欠缺啊！

健康

人到50歲就是失去健康的開始嗎？如果你這樣認為，那你正落入身體衰老的誤區中。
美國《達拉斯新聞》援引紐豪斯通訊社的文章，對這些誤區一一進行了糾正。

　　誤區一︰隨著年齡的增長，你將失去智力

　　在85歲以上的美國人中，近半數患有老年痴呆癥。但人們完全可以通過一些預防措施，降低在老年失去智力的可能。首先從飲食開始。多項研究顯示，那些食 用高脂、高飽和脂肪和高膽固醇食品的人患老年痴呆的風險至少增加兩倍。而食用全麥食品、水果、蔬菜、瓜子和堅果則大有裨益，因為它們提供縴維和抗氧化劑， 能保持動脈暢通無阻，為大腦輸送充足的血液。

　　誤區二︰你不需要有和年輕人一樣多的睡眠

　　老人並不是特殊材料制成的，與年輕人一樣，你需要同樣多的睡眠來休息，恢復精力。年紀大的人每天需要7—9小時的睡眠時間，只是老年人往往難以入睡和安眠罷了。因此研究人員建議，如果你也存在睡眠問題，要去看醫生，尋求幫助。

　　誤區三︰老了鍛煉為時已晚

　　越來越多的證據顯示，鍛煉對老年人健康的影響與對年輕人的一樣。一項研究顯示，死亡率與每周燃燒的卡路里數成反比。健身可以降低你的血壓和膽固醇，增加你的耐力，使你睡得更好。

　　誤區四︰老了就得放棄跑步

　　除非多年的跑步運動損傷了你的膝蓋和關節，否則，你就應該繼續甩開雙臂，邁開雙腿去上路。雖然這是高沖擊力的活動，但只要你以一種對身體有益的方式跑動，就不需要放棄。

　　美國菲爾萊狄更斯大學運動專家菲舍爾說，老人應該時刻注意自己的身體，發現不對勁就要趕緊改變鍛煉方式或頻率。比如，在患上慢性關節炎之前，就把每周五六次的跑步減為三四次。

　　誤區五︰老了就會駝背

　　如果你骨骼強壯，就不會駝背。駝背多由骨質疏松引起，因此你可以通過吃富含鈣質的食物、走路鍛煉等方法來預防骨質疏松癥，從而達到預防駝背的目的。

　　誤區六︰你將與肌肉說再見

　　美國健身協會的數據顯示，人在20歲之後，大多會每年失去約200多克肌肉，但通過力量訓練可以補救。

　　力量訓練的一大益處是形成肌肉塊，有助于減肥，這種好處並不會因年齡增長而改變。

　　誤區七︰體重增加不可避免

　　大多數女性在絕經期期間體重會增加4.5公斤。但這並不是說體重增加不可避免，爭取每天鍛煉40—60分鐘，做到每次燃燒300—400卡的熱量，就可以幫助你保持迷人身材。

　　誤區八︰年紀大可以沒有性生活

　　人們在進入老年之後也可以，並應該享受性愛，但必須注意身體情況的變化。

Thesis Aug. 96

NONLINEAR RESPONSE OF THICK LAMINATED SHELLS

WITH INTERLAMINAR DEFORMATION

by

Lea Raymond Hsia

A dissertation submitted to the faculty of

The University of Utah

in partial fulfillment of the requirements for the degree of

Doctor of Philosophy

Department of Civil Engineering

The University of Utah

April 2006

Copyright © Lea Raymond Hsia 1994

All Rights Reserved

T H E U N I V E R S I T Y O F U T A H G R A D U A T E S C H O O L

F I N A L R E A D I N G A P P R O V A L

To the Graduate Council of the University of Utah:

I have read the dissertation of Lea Raymond Hsia in its finalform and have found that (1) its format, citations and bibliographic style are consistent and acceptable; (2) its illustrative materials including figures, tables, and charts are in place; and (3) the final manuscript is satisfactory to the supervisory committee and is ready for submission to The Graduate School.

_____________________ _____________________________________

Date Reaz A. Chaudhuri

Chair, Supervisory Committee

Approved for the Major Department

____________________________________

Lawrence D. Reaveley

Chair/Dean

Approved for the Graduate Council

____________________________________

David S. Chapman

Dean of The Graduate School

ABSTRACT

The dissertation research presents the theoretical and computational procedures that have been applied in the design of a special purpose computer program for computing static nonlinear response of laminated shell structures. A general formulation of the incremental equations of motion for laminated shell structures undergoing large displacement finite strain deformation is presented. These equations are based on the Lagrangian frame of reference, in which constitutive models of a variety of types may be introduced. The incremental equations are linearized for computational purposes, and the linearized equations are discretized using isoparametric serendipity finite elements. Computational techniques, including step-by-step incremental approach and the BFGS type iterative procedure, for the solution of nonlinear equations are also discussed in detail.

A fully nonlinear analysis for prediction of large deformation behavior of thick laminated composite shells and panels is presented. This research accounts for fully nonlinear strain-displacement relations, in contrast to the commonly used von Karman type nonlinear assumption. The formulation accounts for layerwise linear displacement distribution, in conjunction with large strain as well as large deflection/rotational behaviors. The fully nonlinear kinematic relations are employed in the present study so that stable equilibrium paths in the advanced nonlinear regime can be accurately predicted.

TABLE OF CONTENT

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

LIST OF FIGURES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

LIST OF TABLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

NOMENCLATURE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

ACKNOWLEDGEMENTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv

Chapter

1. INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Review of Literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Objectives and Scope of the Present Research . . . . . . . . . . . . . . 6

2. THEORETICAL DEVELOPMENT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Kinematic Relations of a shell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Constitutive Relations for an Orthotropic/Anisotropic Lamina . 18

2.4 Formulation of Incremental Equations of Motion . . . . . . . . . . . 22

3. FORMULATION OF 3D CUBIC THICK SHELL ELEMENT . . . . . . . 28

3.1 Total Lagrangian Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2 Updated Lagrangian Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3 Isoparametric Finite Element Discretization . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4 Solution Strategy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4. VERIFICATION PROBLEMS AND NUMERICAL RESULTS . . . . . . 47

4.1 Example 1. Large Displacement and Large Strain Analysis of a

Rubber Sheet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2 Example 2. Analysis of a Homogeneous Isotropic Clamped

Thin/Shallow Cylindrical Panel under Uniform Loading . . . . . .. . 53

4.3 Example 3. Analysis of Cross-Ply [0o /90o] Clamped Cylindrical

Thin Shallow Panel under Uniform Loading. . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.4 Example 4. Analysis of Homogeneous Isotropic Clamped Thin

and Thick Cylindrical Panels under Uniform Loading . . . . . . . . . . 64

4.5 Example 5. Analysis of Cross-Ply [0o /90o] Clamped Cylindrical

Thin and Thick Panel under Uniform Loading. . . . . . . . . . . . . . . . 68

5. CONCLUSIONS AND RECOMMANDATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.1 Summary and Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.2 Recommandations for Future Research . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

REFERENCES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

LIST OF FIGURES

Figure Page

2.1 Volume Element for a Curvilinear Coordinate Cystem . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 General Shape of a Doubly Curved Laminated Shell . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Global and Material Coordinate Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1 Surface Parallel Isoparametric Elements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2 Storage Arrangement of the Coefficient Matrix A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.1 A 2D Rubber Sheet under Tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2 Nonlinear Displacement at Each Load Step . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.3 The Deformation of a 2D Rubber Sheet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.4 A Clamped Homogeneous Cylindrical Shell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.5 Convergence Study of present Quadratic 16-Node Element . . . . . . . . . . 56

4.6 The Central Deflection of an Isotropic Clamped Cylindrical Shell . . . . . 56

4.7 A Cross-Ply [0o /90o] Cylindrical Panel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.8 Convergence Study of the Quadratic 16-Node Element for a Cross-Ply

[0o /90o] Cylindrical Panel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.9 Comparison with Reddy's von Karman Nonlinear Strain Solution . . . . 60

4.10 Comparison of Full and Reduced Integration Based Solutions. . . . . . . . 61

4.11 Normalized Radial Displacements of a Clamped [0o /90o] Cylindrical

Panel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.12 Convergence of Central deflection, Computed Using 24 Node Cubic

Elements, of a Thin Clamped Isotropic Cylindrical Panel . . . . . . . . . . . . . 66

4.13 Load Deflection (Equilibrium) Paths for a Thin Homogeneous Isotropic

Cylindrical Panel Computed Using Cubic (24 Node) Elements . . . . . . . . 66

4.14 Effect of Thickness on the Normalized Deflection of a Homogeneous

Isotropic Cylindrical Panel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.15 Convergence of Central deflection, Computed Using 24 Node Cubic

Elements, of a Thin Two-Layer [0o /90o] Cylindrical Panel . . . . . . . . . . . 69

4.16 Load Deflection (Equilibrium) Paths for a Thin Two-Layer [0o /90o]

Cylindrical Panel Computed Using Cubic (24 Node) Elements . . . . . . . . 70

4.17 Radial Displacements of a Clamped [0o /90o ] Cylindrical Panel . . . . . . . . 70

4.18 Thickness Study of Two Layer [0o /90o] Cylindrical Panel . . . . . . . . . . . . 71

LIST OF TABLES

Table Page

4.1 The Results for a Rubber Sheet under Tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2 Comparison of Displacement of a Homogeneous Isotropic Cylindrical

Panel with Available Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3 Comparison of the von-Karman and Full Nonlinear Strain-Displacement.

Based Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.4 Results of a Homogeneous Isotropic Panel Thickness Study . . . . . . . . . . 67

4.5 Nonlinear Thickness Effect in Homogeneous Isotropic Cylindrical Panels 68

4.6 Results of a Two Layer [0o /90o] Panel Thickness Study . . . . . . . . . . . . . . 71

4.7 Nonlinear Thickness Effect in Two Layer [0o /90o] Cylindrical Panels . . . 73

NOMENCLATURE

A Symmetrical coefficient matrix of skyline simulteneous equations (LHS)

A(i) Acceleration factors of equation solver

a Half length of a panel of square planform

BL Linear component of the matrix of strain-displacement relationship

BNN Nonlinear component of the matrix of strain-displacement relationship

b Binormal vector in Ch.2

b Skyline stored simulteneous equations RHS coefficient

b Subscript indicating bottom surface of the layer

C(i) Condition number in acceleration scheme

Cij Component of the compliance matrix

Cijrs Incremental elastic material property represented 4th order constituitive tensor

C1, C2 Constants of Mooney-Rivlin Type Material

dS Length of line segment on a deformed surface

ds Length of line segment on an undeformed surface

odV Incremental control volume of the initial configuration

E Young's modulus of the isotropic material.

ELL Young's modulus in the direction parallel to the fibers.

ETT Young's modulus in the direction perpendicular to the fibers.

Linear incremental component of the 6x1 strain vector

Linearized incremental component of the 6x1 strain vector

F Force vector

{fL} Applied load vector

t+∆t{fL} Applied load vector at the time t+∆t

{fN} Nonlinear internal force vector

t+∆t{fN}(i) Nonlinear internal force vector at the i-th iteration of the time t+∆t

GLT Longitudinal shear modulus in a plane parallel to fibers.

GTT Transverse shear modulus in a plane perpendicular to fibers.

gk Orthogonal base vector in the k-th direction

gk Coefficient of the 1st fundamental differential quadratic form of the surface in the k-th direction, k=1,2

h Total thickness of the cylinder

hi Thickness of the i-th lamina

K Stiffness matrix in Ch. 3

[KL] Linear global stiffness matrix

[KN] Nonlinear global geometric stiffness matrix

L Half length of the cylinder

Subscript indicating the longitudinal direction of a lamina

mk Half bandwidth of the total stiffness matrix

N Total number of elements

Nelm Number of elements for each layer

NL Number of layers

NT Number of elements in the circumferential direction

n Unit normal director of the surface with respect to the fixed coordinate

system

Pr, q Uniformly applied hydrostatic pressure

Qij Stiffness matrix component of the orthotropic layer

Stiffness matrix component of the k-th anisotropic layer after transformation

{oQ}(i) Incremental displacement vector due to the applied load vector

R Position vector of an arbitrary point at distance from the bottom surface of

the i-th layer

R, Rm Mean radius of the panel

Ri Inner radius of the cylinder

r Position vector of an arbitrary point on the bottom surface of the i-th layer

Incremental stress component of the k-th layer

The i-th stress component at time t, i=1 to 6

Second Piola-Kirchhoff stress tensor evaluated based on the initial configuration at t = t+∆t

The stress matrix evaluated at time t in section 2.3

The stress vector evaluated at time t in section 2.3

T Superscript indicating the transpose of the matrix

Subscript indicating the transverse direction of a lamina

TOLdisp. Tolerance of displacement convergence criterion

TOLenergy Tolerance of energy convergence criterion

TOLforce Tolerance of force convergence criterion

t Subscript indicating top surface of the layer

U Displacement vector in Ch. 3

oub(i), ovb(i), Incremental displacement component in the x, q, and z directions

owb(i) on the bottom surfaces of the i-th layer

out(i), ovt(i), Incremental displacement component in the x, q, and z directions

owt(i) on the top surface of the i-th layer

0ubk(k),0vbk(k) Incremental nodal displacement components in the x, q, and z directions,

0wbk(k) respectively, at the k-th node on the bottom surface of the i-th layer

0ubk(k),0vbk(k) Incremental nodal displacement components in the x, q, and z directions,

0wbk(k) respectively, at the k-th node on the top surface of the i-th layer

t+∆t{V}(i) Total displacement vector at the i-th iteration at time t+∆t

oV Control volume of the initial configuration

vi The i-th component of the displacement vector, i=1,2,3

W Transverse displacement component of cylindrical panel in Chapter 4

Wn Normalized Transverse displacement in Chapter 4

X Lagrangian coordinate system in Chapter 2

Deformation gradient in Chapter 4

x(i),q(i),z(i) Coordinates of a point inside an element of the i-th layer in terms of r and s

a Subscript indicating direction parallel to fiber in a lamina

b Subscript indicating direction orthogonal to fiber in a lamina

eij Physical component of Green-Lagrangian strain tensor in equation (2.9)

Incremental strain component of the k-th layer

Total Green-Lagrangian strain tensor evaluated based on the initial configuration at time t+∆t

Christoffel symbol of the 2nd kind

Nonlinear strain component vector

Variation of the nonlinear strain component vector

gij Green-Lagrangian strain tensor in section 2.2

[F] Cubic global interpolation function matrix composed of 24 node element

Yk(r,s) Cubic element interpolation function composed of 24 node element

in terms of r and s

rk(i) The k-th principal radius of curvature in the i-th layer

q Angle measured from the global x axis

t+∆t¬ External virtual work of a body

x, h, z Natural coordinates system of a parent element

ACKNOWLEDGEMENTS

The author wishes to express his gratitude and deep appreciation to Professor

Reaz A. Chaudhuri for his inspiring guidance and support throughout the course of this research. Appreciation goes to Professors E. S. Folias, K. L. DeVries, D. K. Shetty, and F. Stenger for their valuable suggestions and recommendations. A special thank is extended to author's wife Ana Ching-hua and his only son Joel Hsia for their love, patience, and assistance in achieving his academic aspirations. The author dedicates his dissertation to his parents Tien-Cheuh Hsia and Yu-Tsai Hsia for the numerous sacrifices they made throughout their lives.

T H E U N I V E R S I T Y O F U T A H G R A D U A T E S C H O O L

SUPERVISORY COMMITTEE APPROVAL

of a dissertation submitted by

Lea Raymond Hsia

This dissertation has been read by each member of the following supervisory committee and by majority vote has been found to be satisfactory.

_________________ _______________________________________

Chair: Reaz A. Chaudhuri

_________________ _______________________________________

K. Larry DeVries

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Danish K. Shetty

__________________ _______________________________________

Efthymios S. Folias

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Frank Stenger