十八世紀的數學發展

十八世紀的數學發展，可說是分析學的年代！

我在數學家故鄉的課本中看到，十八世紀的微積分、常微分方程、偏微分方程式、變分學…都有相當大的發展。在看完十八世紀的數學家後，最後決定挑了幾個我比較有聽過，大家也耳熟能響的數學家來聊聊。

＜Leibniz, Gottfried Wilhelm 萊布尼茲＞

萊布尼茲，是微積分開山祖師之一。我對他的印象始於 :數學家故鄉的課本中，提到他發明了一種直到今天還在使用的數輪機，，世人稱之為萊佈尼茲數輪機。

萊佈尼茲對於近代計算機的貢獻除了萊佈尼茲數輪機之外，還有他對於符號邏輯的發明。符號輯促成范諾依曼想出的Stored-program計算機開了近代計算機之路！

＜Gauss 高斯＞

高斯所做的數論研究總結在《算術研究》中，這本書奠定了近代數論的基礎，它不僅是數論方面的劃時代之作，也是數學史上不可多得的經典著作之一。

高斯是近代數學奠基者之一，在歷史上影響相當大，可以和阿基米德、牛頓、歐拉並列，有「數學王子」之稱。他幼年時就表現出超人的數學天才。深入研究複變函數，建立了一些基本概念發現了著名的柯西積分定理。他還發現橢圓函數的雙週期性。這個天才，在微積分方面也有大貢獻，對於十八世紀數學界的影響不小。

　

＜Colin Maclaurin　馬克勞林＞

馬克勞林是蘇格蘭有名數學家，將牛頓的微積分方法加以擴充，並且也是第一個正確地提出極大和極小有何相異的人。

牛頓逝世後不久，馬克勞林為了使微積分嚴密化，於1742年出版「Treatise of Fluxions」，此出無疑的具有很大的重要性，但因他給的微積分的定義無法使當時的人接受，而飽受很多無情的批評。這本書中最重要的是馬克勞林級數，最近在學習微分方程時，提到了泰勒多項式，由這又介紹到馬克勞林級數，我才對這個人有點認識了。

　

＜Brook Taylor　泰 勒＞

泰勒出生於英格蘭一個富有的且有點貴族血緣的家庭， 一路走來比起許多數學家算是順利多了，順利的拿到碩士、博士學位，然後出任英國皇家學會秘書。

泰勒定理，這公式是從格雷戈里－牛頓插值公式發展而成的，當ｘ＝0時便稱作馬克勞林定理。(前面我有提過)。1772年，拉格朗日強調了此公式之重要性，而且稱之為微分學基本定理。泰勒定理開創了有限差分理論，使任何單變量函數都可展成冪級數；同時亦使泰勒成了有限差分理論的奠基者。他於數學上之其他創造性工作，如論述常微分方程的奇異解，曲率問題之研究等。

＜Augustin Louis Cauchy　柯西＞

柯西是個數學家、物理學家。他為許多數學分支建立了嚴格的描述，並產生了深遠的影響，尤其是他用極限和連續性的概念為現代分析學奠定基礎，並發展出複變函數論，因此，後人也認為他是複變的開創者
　　他的功績中，最顯著的是在微積分、複變函數和微分方程等方面。他發現並闡明了級數收斂準則和一些判別法，還給出了如今通用的函數連續性的概念，給出定積分的第一個確切定義，以及廣義積分的定義等。

柯西的貢獻遍及數學，包括應用數學的各個領域，特別在級數、微分方程、數論、複變函數、行列式和群論、天文、光學、彈性力學等方面都留下了大量的論文。他是數學史上，僅次於尤拉的多產作家。

＜Leonhard Euler 　尤拉＞

十七世紀出了偉人牛頓，還好十八世紀也出了一位大師尤拉，他可以比美古今三位通世數學大師:阿基米德、牛頓和高斯。因為我相當喜歡尤拉，所以對他的介紹也多一些。

尤拉的一些重要研究

尤拉線

首先提出三角形內的外心、重心、垂心在一直線上，此線稱為尤拉線。

尤拉定理

在一封閉的多面體內，其頂角數 v，邊數 e 和面數 f 有一個關係式：v ＋ f － e ＝ 2，此稱尤拉定理。

數學符號

許多現在我們習用的數學符號都出自尤拉的首創：

１、以 f ( x ) 表示函數符號 ２、以 Σ 表示求和符號 ３、以 e 表示自然對數底 ４、以 i 表示虛數單位 ５、以 a、b、c 表示 △ABC 之三邊長 ６、以 S 表示三角形之半周長

尤拉公式
尤拉公式 eix ＝ cos x + i sin x 是複數的一個重要公式。

有關π
尤拉導出的 π 的平方的許多公式。

連分數
尤拉也導出了以下的連分數，而為後來研究 π 的無理性以及超越性的人奠下根基

曲面論
在1760年尤拉建立了曲面論，這是他在微分幾何這一方面最大的貢獻。

費馬大問題
費馬最後問題 ( 又稱費馬大問題 )：xn + yn ＝ zn，n ≧ 3 時，沒有正整數解。尤拉證得當 n ＝ 3和 n ＝ 4 時，費馬的大問題是正確的。



尤拉的數學生涯開始於牛頓去世的那一年。這實在是一個不可多得的時代，解析幾何、微積分的發展已達到某種程度，並被應用到不同領域的問題。

尤拉對於數學的貢獻太多，其中尤拉公式，這是關於三角函數最漂亮的公式之一，尤拉本人非常喜愛這公式，並宣稱這是最美麗的數學公式。尤拉與牛頓，Leibniz都是屬於新數學理論的開拓者，有人將Euler，Gauss，Riemann在數學的地位比喻為樂壇上的三B:巴哈，貝多芬，布拉姆斯，也有人將尤拉比擬為數學界的莎士比亞。

尤拉是能在任何地方、任何條件下進行工作的幾個偉大數學家之一。他很喜歡孩子，共生了13個小孩，他寫作最難的數學作品時也令人難以置信的輕鬆，所以很多人都開玩笑的說他是最多產的數學家。

　　

在看完十八世紀重要的數學家後，發現十八世紀真的是分析學百花齊放的時代，若沒有這些人致力於研究，今日我們也無法看到這麼多美妙的數學公式。

許多局外人對數學家有一定的偏見，認為學數學的人必定思想怪異、生活白痴、人格有問題……。

然而像尤拉過世有兩百多年，但他今天仍然活在數學的每個角落，他個人對人親切相當好相處。誰說數學家都很奇怪！？我覺得尤拉是我最喜歡的數學家之一！

我想這些局外人是因為他們不曾踏入數學這塊領域，不曾好好欣賞數學的美。像我們算是才稍微抬腳，尚未完全接觸數學的人，都已經能感受到數學的美，而數學的理論也是人類生活上進步的推動力，沒有了數學，哪來文明發展的現代？不是嗎！